Как пишется слово "багроветь" — в первом слоге "а" или "о", и во втором слоге "о" или "е"?

Правильно: "багроветь" — "а" в первом слоге и "о" во втором: б-а-гр-о-веть. Словарное слово. Образовано от "багровый" — тот же корень "багр-" с "а". Суффикс глагола сохраняет "о".